Podrobný sprievodca gréckymi premennými obchodovania s opciami

Gréci

Gréci - delta, gama, theta, vega a rho - sú päť premenných, ktoré pomáhajú identifikovať riziká pozícií opcie.

Riziká, ktorým investori pri opciách čelia, nie sú jednorozmerné. S cieľom vyrovnať sa s meniacimi sa podmienkami na trhu by si mal byť investor vedomý rozsahu týchto zmien. Teória opcií a modely oceňovania opcií poskytujú investorom premenné na identifikáciu rizikových charakteristík ich pozícií opcií, aby zistili, či sú zmeny veľké alebo malé, či už vytvárajú veľké alebo malé riziko. Tieto premenné sa označujú ako Gréci. Monitorujeme päť Grékov: delta, gama, theta, vega a rho.

Pretože sú Gréci derivátmi Black & Scholesovho vzorca, začneme tým, že o tom niečo vysvetlíme.

Black & Scholes

Blackov a Scholesov vzorec, niekedy známy ako Blackov, Scholesov a Mertonov vzorec, je trhový štandardný nástroj na stanovenie cien. Opcia pre tento vzorec ceny ako funkcia aktuálnej ceny akcií S ₀, času do splatnosti opcie T, jej štrajku X, volatility σ a úrokovej sadzby r:

hovor = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

dať = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) s

kde N (x) je kumulatívna funkcia normálneho rozdelenia pre štandardné normálne rozdelenie, tj pravdepodobnosť, že náhodná premenná ~ N (0,1) (so štandardným normálnym rozdelením) je menšia ako x.

Pred diskusiou o vzorci uveďme základné predpoklady. Black a Scholesov vzorec predpokladá:

Návraty sú IID (nezávislé a identicky distribuované) s normálnym rozdelením.
Budúca volatilita je známa a konštantná.
Budúca úroková sadzba je známa, konštantná a rovnaká pre pôžičky aj pôžičky.
Skladová cesta je nepretržitá a je možné nepretržité obchodovanie.
Transakčné náklady sú nulové.

Pri vývoji teórie predpokladáme, že všetky tieto predpoklady platia. Tento vzorec je trhovým štandardom, pretože je mimoriadne robustný, pokiaľ ide o porušovanie jeho predpokladov.

Delta

Prvým Grékom, o ktorom sa bude diskutovať, je delta. Delta je v zásade citlivosť teoretickej hodnoty opcie na zmenu ceny základnej zmluvy. Jednoduchšia je delta zmena hodnoty opcie, keď podkladová hodnota stúpne o 1 dolár. Napríklad:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) a Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

s N (d ₁) ako vo vzorci BS.

Hodnota kúpnej opcie sa zvyšuje, keď cena akcií stúpa, takže delta kúpnej opcie je pozitívna. Naopak cena put opcie klesá, keď cena akcií stúpa, takže delta put opcie je negatívna.

Možno si všimnúť, že N (x) je funkcia hustoty pravdepodobnosti, takže nadobúda hodnotu v. Delta jedného hovoru je potom vždy dovnútra a delta jedného hovoru je vložená. Pretože podkladová úroveň je zvyčajne 100 akcií, delta opcie sa vynásobí 100. Napríklad opcia s delta 0,25 sa považuje za deltu 25. Čím vyššia je delta, tým podobnejšia bude zmena hodnoty opcie. k podkladovej akcii. Hodnota opcie s delta 100 sa bude pohybovať presne rovnakým tempom ako podkladová akcia. Pamätajte tiež na to, že derivačná operácia je lineárna, takže môžeme vypočítať delta každej možnosti a spočítať ich, aby sme dostali deltu celého portfólia (potom to môže byť samozrejme mimo).

Keď sa opcia priblíži k expirácii, zmení sa jej delta, pretože sa mení pravdepodobnosť vypršania platnosti peňazí alebo z nich a normálne rozdelenie sa zužuje a sústreďuje okolo priemeru. Keď sa opcia priblíži k expirácii, opcie v peniazoch sa posunú k delte 100 a opcie za peniaze sa posunú k delte 0. Opcie za peniaze naopak zostanú okolo delty 50.

Keď sa podkladové akcie zmenia v cene, zmení sa aj delta. Dá sa to očakávať, pretože d ₁ je funkciou ceny akcií.

Delta hovoru

Praktickou interpretáciou delty je zaisťovací pomer: množstvo akcií, ktoré by sa mali kúpiť alebo predať, aby sa neutralizovalo smerové riziko opcie. Z vzorca BS môžeme vidieť inú interpretáciu. Zhruba povedané, môžeme povedať, že delta možnosti je jej pravdepodobnosť, že v peniazoch vyprší. (Pre put vezmeme absolútnu hodnotu). Táto aproximácia však funguje iba pre európske možnosti.

Ak zhrnieme, existujú tri interpretácie delty:

Zmena hodnoty opcie, ak sa podkladový kapitál zvýši o 1 dolár.
Hedge ratio: počet akcií, ktoré sa majú kúpiť alebo predať s cieľom neutralizovať smerové riziko pozície.
Šanca, že opcia bude v peniazoch po uplynutí platnosti

→ OTM hovory: delta má tendenciu k 0, keď sa blížime k vypršaniu platnosti.

→ Hovory ITM: delta býva s pribúdajúcim časom 100.

Delta put v porovnaní s podkladovou cenou

Delta verzus volatilita

Keď sa volatilita zvyšuje (znižuje), delta hovoru smeruje k (od) 0,50 a delta puta k (od) -0,50. Ak teda volatilita stúpa (klesá), delta možnosti v peniazoch klesá (stúpa). V prípade možnosti „out of money“ je to presne naopak.

Delta verzus čas

S pribúdajúcim časom sa delta hovoru pohybuje od 0,50 a delta hovoru od -0,50. Postupom času sa delta vkladu vo volaní peňazí posúva k 1 a delta výstupných peňazí k 0.

Gama

Gama je derivát delty ako funkcia ceny akcií. Keďže delta je derivátom opčnej hodnoty ako funkcia podkladovej akcie, gama je zmena delty, keď sa cena akcie zvýši o 1 dolár. Je napísaný nasledovne:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

s d ₁ ako vo vzorci BS a N 'prvý derivát funkcie Gaussovej kumulatívnej hustoty, to je obvyklá gaussova hustota:

Gama verzus cena akcií, gama verzus čas

Jeden často hovorí, že gama dosiahne svoju maximálnu hodnotu, keď je možnosťou bankomat. To je správne ako prvá aproximácia, skutočné maximum sa však dosiahne, keď je cena akcií tesne pod realizačnou cenou. Tento efekt je uvedený v ľavej časti obrázka vyššie pri akciách obchodujúcich za 100 dolárov. Vzhľadom k tomu, úderný X, volatility å, rýchlosť r, a čas vypršania T, akciový hodnota dáva maximálnu gama je S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

Gama krivka hovoru a putu sú identické. To je v súlade s tým, čo sme doteraz hovorili o hovoroch a hovoroch všeobecne a najmä o gama.

Ako sa skracuje čas do vypršania platnosti, zvyšuje sa gama a theta opcií za peniaze. Tesne pred vypršaním platnosti môžu byť tieto premenné dramaticky veľké.

Gama verzus čas

Ako ukazuje vyššie uvedený obrázok, graf sa zužuje, ale celková plocha pod grafom zostáva nezmenená. V dôsledku toho sa graf dostane oveľa vyššie. Horná horná časť symbolizuje zvýšenie gama a theta so znižovaním času do uplynutia platnosti.

Kvôli správaniu hovorov ITM, ATM a OTM vidíme, že delta krivka bude okolo štrajku stúpať, keď sa blíži expirácia. Preto sa s možnosťou ATM časom zvyšuje gama. To však neplatí pre možnosti OTM a ITM.

Gama je dôležitým rizikovým parametrom, pretože určuje, koľko peňazí môžeme pri zmene ceny akcií získať alebo stratiť na našom delta-neutrálnom portfóliu. V nasledujúcom príklade budeme hodnotiť P / L pozície opcie v dôsledku pohybu podkladu. Budeme predpokladať konštantnú gama 2,7, takže delta sa zmení o 2,7 na pohyb podkladového dolára za dolár.

Predpokladajme, že 80 hovorov kúpime 1 000-krát za 5,52 s akciovou cenou 79 dolárov. Aby sme boli delta neutrálni, mali by sme predať 51 100 akcií. Cena akcií sa vyvíja nasledovne:



t =	Cena akcií
0	79
1	84
2	76
3	79

V čase t = 1 a t = 2 upravujem svoj živý plot, aby bol delta neutrálny. Pri t = 3 zatváram svoju pozíciu.

Tri spôsoby výpočtu zmeny hodnoty pozície

Tu sú tri spôsoby výpočtu zmeny hodnoty našej pozície, prvý pomocou hotovostného toku, druhý pomocou delty a tretí pomocou gama.

1. Výpočet zisku pomocou hotovostného toku

Najprv sa pozrieme na peňažné toky, ako je uvedené v nasledujúcej tabuľke. Druhý stĺpec zobrazuje peňažné toky súvisiace s výzvou a tretí súvisí s mojou pozíciou na sklade. Posledný riadok sčíta všetko:

Takže nakoniec dosiahneme zisk 132 300. Ak máme dlhé možnosti a teda máme dlhú gama pozíciu, musíme kúpiť akcie, ak cena akcií klesá, a predávať akcie, ak sa cena akcií zvyšuje (nakupovať nízko, predávať vysoko), takže ak sa akcia pohybuje, vždy vytvárame zisk. Sami si overte, či to platí pre hovory aj hovory.

2. Výpočet zisku pomocou Delta

Teraz uvažujeme o druhom spôsobe výpočtu ziskov. Obchody sú rovnaké, líši sa len výpočet zisku. Pri tejto metóde uvažujeme súčasne s možnosťou a pozíciou akcií. Sklad máme ako zaistenie pre opciu, tak si vezmime iba celkovú delta pozíciu. Začíname delta neutrálne. Potom sa akcie presunú, získame delty. (Vypočítané delty vypočítame pomocou rozdielu medzi dvoma danými deltami pre dané počiatočné a koncové hodnoty zásob. Na získanie priemernej delty počas presunu použijeme túto hodnotu delenú dvoma). Portfólio zhodnocuje podľa svojich delt, ako je vysvetlené nižšie.

V tomto prípade použijeme metódu priemernej delty. To znamená, že:

Vypočítajte priemernú delta pozíciu počas pohybu zásob.
Vynásobte to intervalom a vypočítajte zisk.

V čase t zaisťujeme, takže nakupujeme / predávame akcie, takže delta je opäť neutrálna.

Pozrime sa na to opatrnejšie:

Pri t = 0, akciové obchody 79, začíname delta neutrálnu pozíciu, to znamená, že máme 51 100 akcií krátkych
Pri t = 1 sa akcie obchodujú s 84. Delta pozície opcie je 64,6 * 1000 (z opcií) -51100 (z akcií). Medzi t = 0 a t = 1 sa moja delta pozícia zmenila z 0 na 13 500. Moja priemerná delta za ťah bola potom (13 500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 za hovor). Na výpočet PnL mojej pozície vynásobím tieto delty počtom presunov akcií: 6570 * 5 = 33 750 dolárov. Na realizáciu tohto zisku potrebujem predať akcie, aby boli opäť delta neutrálne.
Pri t = 2 sa akcie obchodujú 76. Delta mojej opčnej pozície je 43,0 * 1000 a delta mojej akciovej pozície je -64600…

Príklad výpočtu zisku pomocou gama.

3. Výpočet zisku pomocou gama

Vo vyššie uvedenom príklade sme vypočítali priemernú delta pozíciu tak, že vezmeme priemer východiskovej delta polohy a konečnej delta polohy. To sa dá dosiahnuť aj pomocou gama, pretože gama definuje zmenu delty na dolár.

Poďme si ujasniť, ako:

Pri t = 0 sa akcie obchodujú 79, delta neutrálne, gama je 2 700.
Pri t = 1 sa akcie obchodujú s 84. Akcie sa presunuli o 5, takže moja nová delta pozícia je 5 * 2 700. Na začiatku ťahu bola moja delta 0, takže moja priemerná delta je 5 * 2 700/2. Akcie sa presunuli o 5, takže portfólio získalo 5 * priemernú deltu = 5 * 5 * 2 700/2. Portfólio je zabezpečené tak, že delta je opäť 0. Hovoríme tomu „skalpovanie gama“. Dlhá gama pozícia vám umožňuje nakupovať nízko a predávať vysoko.
Pri t = 2 sa akciové obchody obchodujú 76. To je 8 dolárových pohybov, moja nová delta pozícia je 8 * 2700…

Jeden môžeme použiť nasledujúci všeobecný vzorec, ak vychádzame z delta neutrálneho portfólia:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2